Spiralen

Bestimmt haben auch Sie schon einmal in der Natur spiralförmige Strukturen beobachtet. Beispiele sind die Anordnung der Samen bei der Sonnenblumen, der Margerite, dem Asteriscus (Bilder rechts) oder auf Tannenzapfen. Auch bei der Blumenkohlsorte Romanesco (Bild rechts) kann man sie beobachten. Wie man Spiralen mit einem einfachen Modell erzeugen kann, und was dieses Modell mit dem "Goldenen Schnitt" und den "Fibonacci-Zahlen" zu tun hat, erfahren Sie auf dieser Seite.

Fibonacci-Zahlen

Hiermit wird eine Zahlenfolge beschrieben, bei der jedes Element aus der Summe der beiden vorherigen Zahlen gebildet wird:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Der Goldene Schnitt

Teilt man eine Strecke so, dass das Verhältnis der kleineren zur größeren Teilstrecke gleich den Verhältnis der größeren Teilstrecke zur ganzen Strecke ist, so nennt man dieses Verhältnis den "Goldenen Schnitt". Eine einfache Rechnung liefert:

G = 0.5 ⋅ (Wurzel(5) - 1) ≈ 0.61803398875 .

Unter dem "Goldenen Winkel" verstehe ich im Folgenden den Winkel, der den Vollkreis im goldenen Schnitt teilt:

GW = G ⋅ 2π .

Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt

Bildet man immer größere Fibonacci-Zahlen, so konvergiert das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen gegen den Goldenen Schnitt.

Und was hat das mit Spiralen zu tun?

Das Modell, um Spiralen zu erzeugen ist ganz einfach:

  1. Setze einen "Samen" in die Mitte.
  2. Setze einen zweiten "Samen" oben auf einen Kreis mit Radius r.
  3. Erhöhe den Kreisradius um dr und setze einen Samen auf diesen Kreis, aber nicht nach oben, sondern auf den Punkt, der gegenüber dem vorherigen um den "Goldenen Winkel" gedreht ist.
  4. Wiederhole dieses, bis die Spirale fertig ist.

Oder etwas mathematischer:
Die Koordinaten der "Samen" seien in Zylinderkoordinaten (r,phi).

  1. Starte mit r = 0 und phi = 0 und setze einen "Samen" nach (r,phi)=(0,0).
  2. Erhöhe r um dr und phi um GW, also r = r + dr und phi = phi + GW, und setze einen "Samen" nach (r,phi).
  3. Wiederhole dieses, bis die Spirale fertig ist.

Weitere Informationen

So sieht es aus

 

Spiralen:

langsam mit

schnell mit



  dr =

Und wenn Sie sich jetzt noch die Mühe machen, die Spiralarme zu zählen, und zwar die nach rechts und die nach links gebogenen, werden Sie feststellen, das dabei wieder Fibonacci-Zahlen herauskommen, ebenso, wie bei den Spiralen in der Natur.


28. 3. 2015 Jürgen Berkemeier