Logistische Abbildung

Die Logistische Abbildung, auch Feigenbaumabbildung genannt, wurde 1837 von Verhulst als Modell für die Beschreibung von Populationsdynamiken eingeführt. Sie wird durch folgende Iterationsvorschrift definiert:

xn+1 = r xn ( 1 - xn )

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Berechnung des Bifurkationsdiagramms

Das folgende Diagramm zeigt die Lösungen dieser Abbildung in Abhängigkeit vom Parameter r. Bei der Berechnung wird - zum Einschwingen - die Gleichung 10 mal "Iterationen pro Parameterwert" iteriert; als Startwert wird eine Zufallszahl genommen. Danach folgen weitere "Iterationen pro Parameterwert" Iterationen, wobei jeder Wert in das Diagramm eingetragen wird.

xn
r

Iterationen pro Parameterwert

Zum Vergrößern eines Ausschnitts kann man mit einem Mausklick erst die linke obere Ecke und mit einem zweiten Mausklick dann die rechte untere Ecke markieren. Man kann die neuen Skalierwerte aber auch direkt in die Achsenbeschriftungsfelder eintragen.

Die Berechnung und vor allem die Grafik belasten die CPU enorm. Je nach Rechnerleistung und Browser kann der Plot auch schon mal eine Minute benötigen. Nur Geduld und die "Iterationen pro Parameterwert" am Anfang nicht zu groß wählen, wobei aber gerade im chaotischen Bereich schon viele Iterationen nötig sind.


1. 10. 2016 Jürgen Berkemeier